Denksportfragen, die nur am Rande mit Mathematik zu tun haben, sollten in der Newsgruppe de.rec.denksport gestellt werden. Diese Newsgruppe hat eine eigene FAQ, die dort regelmäßig gepostet wird und im WWW unter http://janko.at/Denksport/FAQ.txt zu finden ist.
Fußball für 27 Euro
Drei Kinder haben je €10 und kaufen sich dafür gemeinsam einen Ball für €30. Nach dem Verkauf stellt der Ladeninhaber fest, dass der Ball nur €25 kostet und schickt seinen Lehrling mit den überzähligen €5 den Kindern nach. Der Lehrling gibt jedem Kind €1 und behält für seine Bemühungen die restlichen €2. Damit hat jedes Kind nur €9 für den Ball bezahlt, insgesamt zahlten die Kinder €27. Mit den €2 des Lehrlings ergibt das aber erst €29.
Manfred Nadahl <ed.retsneum|lhadan#ed.retsneum|lhadan>
Erklärung:
Die Kinder haben 3 $\cdot$ €9 = €27 bezahlt. Zieht man davon die €2 ab, die der Lehrling behalten hat, bekommt man die €25, die der Ladeninhaber hat.
Wie geht die Folge x, y, z, … weiter?
Solche Folgen findet man u.a. mit http://oeis.org/.
Thomas Holenstein <hc.zhte.ciii|tsneloht#hc.zhte.ciii|tsneloht>
Diese Folgenaufgaben finde ich geil. Z.B. ,,Setze die folgende Folge fort: 1, 22, 333, 4444, …".
Meine Lösung ist meistens ,,1, 22, 333, 4444, 0, 0, 0, 0, 0, …", und wenn jemand beklagt, das sei nicht richtig, sage ich mit einem möglichst einfältigen Gesichtsausdruck: ,,Habe ich sie nicht fortgesetzt?" Das herrlich Geile an der Sache ist, dass die Leute dann versuchen, ihre Fragestellung zu präzisieren, was natürlich nicht geht. Und dann sagen sie zum Schluss etwas Kluges wie ,,Sie wissen schon, was ich meine …".
Janos Blazi <ed.frusten|izalbj#ed.frusten|izalbj>
Mücke und Elefant
Sei x das Gewicht des Elefanten und y das Gewicht der Mücke. Sei d der Unterschied.
$\displaystyle x = y + d$ $\displaystyle \qquad \vert$ $\displaystyle \cdot (x-y)$
$\displaystyle x^2 - xy = xy + xd - y^2 - yd$ $\displaystyle \qquad \vert$ $\displaystyle -xd$
$\displaystyle x^2 - xy -xd = xy - y^2 - yd$
$\displaystyle x(x - y - d) = y(x - y - d)$ $\displaystyle \qquad \vert$ $\displaystyle : (x - y - d)$
Erinnere Dich an dieser Stelle mal daran, dass $x = y+d$ gilt. Dann teilst Du durch $y+d-y-d = 0$, und durch Null darf man bekanntlich nicht teilen.
$\displaystyle x=y$, d.h. das Gewicht des Elefanten ist gleich dem Gewicht einer Mücke!
Eike Michaelis <ed.dnumtrod-inu.hw.fen|ekie#ed.dnumtrod-inu.hw.fen|ekie>
Dieser Fehler (Division durch 0) wird auch in vielen anderen falschen ,,Beweisen" gemacht. Ein weiterer beliebter Fehler ist, aus $a^2 = b^2$ auf a = b zu schließen.
Türen mit Wächtern
Du wirst vom Sultan zum Tode verurteilt. Er will dir jedoch noch eine Chance geben. Du wirst in eine Zelle mit zwei Türen gesperrt. Vor jeder Tür steht ein Wächter. Der eine Wächter ist ein notorischer Lügner und der andere sagt immer die Wahrheit. Du weißt allerdings nicht, welcher Wächter lügt und welcher nicht. Die eine Tür führt in die Freiheit und die andere zum Galgen. Nun ist es dir gestattet, einem der Wächter eine einzige Frage zu stellen, um herauszufinden, welche Tür in die Freiheit führt. Welche stellst Du?
Lösung:
Welche Türe, würde dein Kollege sagen, führt zum Galgen?
Es gibt da Nebenlösungen … insbesondere kann auch nur ein einziger Wächter im Raum sein, und es geht immer noch. Man muss dabei nur unmissverständlich die Antwort nochmal wiederholen lassen (wodurch sie doppelt negiert wird oder wahr bleibt). Etwa: ,,Würdest du 'Ja' sagen, wenn ich dich fragte, ob die Tür dort in die Freiheit führt?"
Detlef Müller <ed.lessak-inu.kitamehtam|relleumd#ed.lessak-inu.kitamehtam|relleumd>
12 Kugeln, 3 Wägungen
Ich habe 12 Kugeln, von denen mindestens 11 das gleiche Gewicht haben. Wie kann ich mit drei Wägungen einer Balkenwaage die falsche Kugel herausfinden und bestimmen, ob sie leichter oder schwerer ist als die anderen?
Es gibt verschiedene Lösungen. Sie beginnen immer damit, dass man zuerst 4 gegen 4 Kugeln vergleicht. Danach kommen meist wilde Fallunterscheidungen, von denen die zweite und dritte Wägung abhängen. Ein einfaches Verfahren habe ich mal ausgetüftelt, bei dem die Fallunterscheidungen erst nach den Wägungen betrachtet werden.
Die drei Wägungen:
Links - Rechts
1. 2 3 7 12 - 4 8 9 10
2. 1 2 6 11 - 3 7 8 9
3. 1 5 10 12 - 2 6 7 8
Für diese drei Wägungen gibt es nun 25 verschiedene Ergebnisse: ,,/" linke Seite schwerer, ,,\" rechte Seite schwerer, ,,-" Gleichgewicht; ,,ag" alle gleich, ,,* l/s" Kugel * ist zu leicht/schwer.
123 123 123
--- ag /-- 4 l \-- 4 s
--/ 5 s /-/ 12 s \-/ 10 s
--\ 5 l /-\ 10 l \-\ 12 l
-/- 11 s //- 9 l \/- 3 l
-// 1 s /// 8 l \// 7 l
-/\ 6 s //\ 2 s \/\
-\- 11 l /\- 3 s \\- 9 s
-\/ 6 l /\/ \\/ 2 l
-\\ 1 l /\\ 7 s \\\ 8 s
Geht das auch mit 13 Kugeln?
Auf den ersten Blick sieht es so aus, als könnte es auch mit 13 Kugeln gehen. Schließlich kann man durch drei Wägungen $3^3$ = 27 Fälle unterscheiden, und es gibt genau 27 Fälle (einschließlich ,,alle Kugeln sind gleich schwer"). Leider gibt es bei den Wägungen ,,Informationsverschnitt". Also:
Angenommen man wiegt als erstes 4 gegen 4 Kugeln. Tritt der Fall auf, dass diese 8 gleich sind, bleiben 10 Fälle übrig (5 Kugeln mal leichter oder schwerer). Durch zwei Wägungen kann man aber höchstens $3^2$ = 9 Fälle unterscheiden.
$\Rightarrow$ Falscher Ansatz.
Angenommen man wiegt als erstes 5 gegen 5 Kugeln. Tritt der Fall auf, dass diese unterschiedlich schwer sind, hat man ebenfalls 10 Fälle (5 auf der einen Seite schwerer oder 5 auf der anderen Seite leichter).
$\Rightarrow$ Falscher Ansatz.
Mit derselben Argumentation gehen alle n-gegen-n-Ansätze schief.
$\Rightarrow$ Keine Lösung.
Anmerkung: Wiegt man als erstes 4 gegen 4 und die sind verschieden, hat man 8 Fälle und könnte 9 unterscheiden. Das ist der ,,Informationsverschnitt". Also:
Erste Wägung links schwerer 8 Fälle
+ Erste Wägung rechts schwerer 8 Fälle
+ Erste Wägung gleich schwer 10 Fälle
= 26 Fälle.
Jede Zeile müsste kleiner oder gleich 9 sein.
Felix Holderied <ed.deiredloh|xilef#ed.deiredloh|xilef>
Balkenwaage mit möglichst wenigen Gewichten
Was ist die geringste Anzahl von Gewichten, die man benötigt, um alle ganzzahligen Massen von 1 bis (einschl.) 40 kg auf einer Balkenwaage auswiegen zu können?
Meine Lösung: $\log_2 40 \approx 5,32$, es werden also 6 Gewichte benötigt: 1, 2, 4, 8, 16, 32 kg.
Tilman Rügheimer <ten.xmg|remiehgeurt#ten.xmg|remiehgeurt>
Basis 3, wenn man die Gewichte auf beiden Seiten der Balkenwaage einsetzen darf. Dann genügen Gewichte der Massen 1, 3, 9 und 27 kg.
Oliver Randschau <ed.xmg|uahcsdnar.revilo#ed.xmg|uahcsdnar.revilo>
