Analysis

Ist 0,(p)9 = 1?

$0,\overline{9}$ und 1 sind zwei verschiedene Darstellungen ein- und derselben reellen Zahl. Die Zahlen sind gleich, weil

  1. die Differenz zwischen beiden Zahlen exakt Null ist.
  2. $0,\overline{1} = 1/9$, $0,\overline{9} = 9/9 = 1$.
  3. es keine reelle Zahl zwischen den beiden gibt. Zwischen zwei voneinander verschiedenen reellen Zahlen gibt es aber immer eine dritte. Diese dritte ergibt sich beispielsweise durch die ,,Mitte" der beiden anderen, also durch $(a+b)/2$. Für $(1+0,\overline{9})/2$ ergibt sich exakt 1.
  4. Wenn Du der Ansicht bist, dass ,,Trotzdem!" da noch ein winziger Unterschied besteht, dass all die Mathematiker keine Ahnung vom Leben haben, dass es eine winzige Ungenauigkeit darstellt, $0,\overline{9} = 1$ zu akzeptieren, musst Du Dich mal mit dem beschäftigen, wovon Du gerade sprichst. Jetzt sage nicht, Du wüsstest, was eine reelle Zahl ist und wann zwei reelle Zahlen voneinander verschieden sind. So lange Du das nicht begreifst, ist Dein ,,Trotzdem!" analog zur Aussage eines Taubstummen, dass Mozart und Mozart nicht derselbe Musiker gewesen sei.
  5. Wenn Du jetzt doch wissen willst, was eine reelle Zahl ist, sage ich Dir: Eine reelle Zahl kann man als Grenzwert einer Folge von rationalen Zahlen auffassen. Wenn wir bei der Darstellung als Dezimalbrüche bleiben, so erkennt man rationale Zahlen daran, dass sie eine endliche Periode haben oder irgendwann einmal abbrechen. Du kannst etwa die Folge 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999, … betrachten.

Leicht ist zu erkennen, dass die erste Zahl dieser Folge übersetzt werden kann mit $9 \cdot 10^{-1}$, die zweite als $9 \cdot 10^{-1}+9 \cdot 10^{-2}$ (so ist gerade definiert, was die Zahlendarstellung bedeutet). Die n-te Zahl ist dann:

$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} 9 \cdot 10^{-i}.$

$0,\overline{9}$ ist dann der Grenzwert dieser Folge, d.h. $n \to\infty$. Befasse Dich mit dem Grenzwertbegriff oder glaube mir, dass für den Grenzwert gilt: Für jede beliebig kleine positive Zahl kann ich Dir ein Folgenglied nennen, ab dem der Abstand aller weiteren Folgenglieder kleiner ist als diese Zahl. Damit ergibt sich zwangsläufig die 1 als Grenzwert, da ich beliebig nahe an die 1 komme. Zwei reelle Zahlen sind verschieden voneinander, wenn die darstellenden Folgen unterschiedliche Grenzwerte haben. Die Folge 1, 1, 1, 1, … hat aber denselben Grenzwert wie die Folge $\sum\limits_{i=1}^{n} 9 \cdot 10^{-i}$, damit sind beide Zahlen gleich.

Marco Gergele <ed.tsae.pot|elegreg#ed.tsae.pot|elegreg>

Weitere Erklärungen findet man in der sci.math-FAQ unter http://db.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node41.html (englisch) oder in der deutschen Übersetzung unter http://www.informatik.uni-oldenburg.de/~tjark/sm/.

Ziege auf kreisförmiger Wiese

Ein Bauer hat eine kreisrunde Wiese mit Radius r. Er kauft sich eine Ziege und will diese so am Rand der Wiese anpflocken, dass die Ziege genau die Hälfte der Wiese abgrasen kann. Wie lang muss das Seil sein?

Nehmen wir an, die Wiese hat den Radius 1. Der Pflock für die Leine steckt auf dem Rand der Wiese im Punkt P0. Der Kreis, den die ständig an der Leine der Länge R zerrende Ziege beschreibt, schneidet den Rand der Lichtung in zwei Punkten P1 und P2. Sei $\phi$ der Winkel des Dreiecks P1P0P2 im Punkt P0. Unter Beachtung der Beziehung

$\displaystyle R/2 = \cos(\phi/2)$

kann man für die begrasbare Fläche die Formel

$\displaystyle G = \pi - \sin(\phi) + \phi \cdot \cos(\phi)$

finden. Die Gleichung

$\displaystyle \sin(\phi) - \phi \cdot \cos(\phi) - \pi/2 = 0$

hat freundlicherweise genau eine Nullstelle in $[0..\pi]$.

Hier ist mein Repertoire an elementaren Umformungen erschöpft ;-)

Mein C64 sagt hier

$\phi = 1.9056957293$
$R = 1.1587284730$

Es gibt keinen sogenannten ,,analytischen" Weg, der eine ,,Formel" ausspuckt. Transzendente Gleichungen haben nun mal im Allgemeinen keine sogenannte ,,explizite" Lösung in elementaren Funktionen. In den etwa 200 Jahren, seit dieses Problem kursiert, ist jedenfalls keine bekannt geworden.

Die Gleichung $\cos(x) = x$ lässt sich auch nicht ,,analytisch" lösen, wenn ich diese Metapher noch einmal strapazieren darf …

Horst Kraemer <ed.ufans.nilreb|remeark.tsroh#ed.ufans.nilreb|remeark.tsroh>


Mir ist die Herleitung der Formel für die begrasbare Fläche

$\displaystyle G = \pi - \sin(\phi) + \phi \cdot \cos(\phi)$

nicht klar. Ich wäre dankbar für eine Erklärung.

Die Herleitung ist etwas ,,tricky" und benötigt den Cosinus-Satz und den Peripheriewinkel-Satz.

Zeichnung:

  1. Wiesenkreis mit Mittelpunkt M und Radius 1.
  2. Senkrecht über M auf dem Wiesenkreis den Pflock P0, darum den Ziegenkreis mit Radius R, liefert die beiden Schnittpunkte P1 (links) und P2 (rechts).

Die beiden Punkte P1 und P2 liegen oberhalb von M (denn lägen sie auf gleicher Höhe oder unterhalb, so wäre die begrasbare Fläche größer als die halbe Wiese). Der Winkel des Dreiecks P1P0P2 im Pflockpunkt P0 sei $\phi$. Der Winkel des Dreiecks P1MP2 im Wiesenmittelpunkt M sei $\psi$.

Betrachtet man jetzt das Dreieck MP1P0, so folgt aus dem Cosinus-Satz:

$\displaystyle (M-P_0)^2 = (M-P_1)^2 + (P_0-P_1)^2 - 2 \cdot (M-P_1) \cdot (P_0-P_1) \cdot \cos(\phi/2),$

d.h.

$\displaystyle 1^2 = 1^2 + R^2 - 2 \cdot 1 \cdot R \cdot cos(\phi/2)$

und daraus

$\displaystyle R = 2 \cdot cos(\phi/2).$

Aus dem Peripheriewinkel-Satz ergibt sich weiterhin für die beiden betrachteten Winkel:

$\displaystyle \psi = 2 \cdot (\pi - \phi).$

Die Weidefläche G der Ziege setzt sich zusammen aus den beiden Kreissegmenten, die an der Linie P1P2 zusammenstoßen: G = (Segment über M mit Radius 1 und Zentriwinkel $\psi$) + (Segment über P0 mit Radius R und Zentriwinkel $\phi$).

Ein Kreissegment mit Radius r und Zentriwinkel $\alpha$ hat allgemein die Fläche $r^2/2 \cdot (\alpha - \sin(\alpha))$, für die Ziege also

$\displaystyle G = (1/2) \cdot (\psi - \sin(\psi)) + (R^2/2) \cdot (\phi - \sin(\phi)),$

und wenn man jetzt $R = 2 \cdot \cos(\phi/2)$ und $\psi = 2 \cdot (\pi - \phi)$ einsetzt, erhält man

$\displaystyle G = \pi - \phi - (1/2) \cdot \sin(2 \cdot \pi - 2 \cdot \phi) + 2 \cdot \cos^2(\phi/2) \cdot (\phi - \sin(\phi)),$

und wenn man das zusammenfasst und das trigonometrische Additionstheorem $2 \cdot \cos^2(\phi/2) = 1 + \cos(\phi)$ benutzt, dann erhält man schließlich die von Horst angegebene Formel

$\displaystyle G = \pi - \sin(\phi) + \phi \cdot \cos(\phi),$

und alles weitere folgt dann aus der Forderung $G = \pi/2 \cdot 1^2 = \pi/2$.

Hermann Kremer <ed.enilno|remerk.nnamreh#ed.enilno|remerk.nnamreh>

Integral von exp(-x^2)

Wer kann mir das Integral von $\exp(-x^2)$ (von $-\infty$ bis $\infty$) ausführlich lösen?

Der ,,Standardbeweis"

Setze

$\displaystyle I=\int\limits_{- \infty}^{\infty} \exp(-x^2) \, dx.$

Dann ist

$\displaystyle I^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-x^2-y^2) \, dx \, dy,$

was eine bloße Umschreibung des zweiten Faktors von der Integrationsvariable x nach y ist (also eine Trivialität).

Jetzt kommt der Trick! Fasse dieses Integral als Integral über die xy-Ebene auf und führe Polarkoordinaten ein:

$\displaystyle x=r \cos(\phi), y=r \sin(\phi)$ mit $\displaystyle r \in (0,\infty)$ und $\displaystyle \phi \in (0,2 \pi).$

Die Jacobi-Determinante ist bekanntlich r, so dass folgt

$\displaystyle I^2=\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{2 \pi} r \exp(-r^2) \, d\phi \, dr.$

Das Integral über $\phi$ ist trivial, weil der Integrand nicht von $\phi$ abhängt, und das Integral über r lässt sich leicht lösen:

$\displaystyle I^2=2 \pi \int_{0}^{\infty} r \exp(-r^2) \, dr = 2\pi \left[ - \frac{1}{2} \exp(-r^2) \right]_{0}^{\infty} = \pi.$

Damit ist also

$\displaystyle I=\sqrt{\pi},$

qed.

Hendrik van Hees <ed.isg|seehnav.h#ed.isg|seehnav.h>

Ein alternativer Beweis

Der erste Beweis aus der FAQ ist der bekannteste. Hier ist noch ein weiterer Beweis, der elementarer und vielleicht sogar noch einfacher ist. Er benutzt als einziges tieferliegendes Hilfsmittel den sog. Satz von Fubini-Tonelli, der u.a. besagt, dass für jede messbare nichtnegative Funktion f die Gleichheit

$\displaystyle \int_a^b\int_c^df(x,y)\,dx\,dy=\int_c^d\int_a^bf(x,y)\,dy\,dx$

gilt (wobei auch der Wert $\infty$ nirgends eine Sonderrolle spielt). Also grob gesprochen: Bei nichtnegativen Funktionen kommt es auf die Reihenfolge der Integration nicht an.

Für die Berechnung des gesuchten Integrals ist es bequemer, anstelle des Integrals über $(-\infty,\infty)$ das Integral über $[0,\infty)$ zu berechnen, das wegen der Symmetrie von $e^{-x^2}$ natürlich die Hälfte des gesuchten Integrals ist. Setzen wir also $J=\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx$, so erhalten wir ähnlich wie im ersten Beweis die Gleichheit

$\displaystyle J^2=\left(\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx\right) \left(\int_0^\infty e^{-y^2}\,dy\right)= \int_0^\infty\left(\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx\right)\,e^{-y^2}\,dy.$

Jetzt substituieren wir im inneren Integral y durch xy, d.h.

$\displaystyle J^2=\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(xy)^2}y\,dx\,e^{-y^2}\,dy= \int_0^\infty\int_0^\infty ye^{-y^2(1+x^2)}\,dx\,dy.$

Nun ist der Integrand nichtnegativ (dies ist der Grund, weshalb wir uns auf das Intervall $[0,\infty)$ beschränkt haben). Der entscheidende Schritt ist nun, dass uns Fubini-Tonelli erlaubt, die Integrationsreihenfolge zu vertauschen:

$\displaystyle J^2=\int_0^\infty\int_0^\infty ye^{-y^2(1+x^2)}\,dy\,dx.$

Bezüglich y kann man nun explizit eine Stammfunktion für den Integranden angeben, und erhält so durch elementare Berechnung uneigentlicher Integrale

$\displaystyle J^2=\int_0^\infty\lim_{M\to\infty}\, \left[\frac{-1}{2(1+x^2)}e^{... ...0^\infty\frac 1{2(1+x^2)}\,dx=\lim_{x\to\infty}\,\frac 12\arctan x= \frac\pi 4.$

Wegen J>0 folgt also $2J=\sqrt\pi$.

Martin Väth <ed.grubzreuw-inu.kitamehtam|hteav#ed.grubzreuw-inu.kitamehtam|hteav>

Historische Anmerkung

Der erste Beweis aus der FAQ geht auf den Mathematiker Poisson zurück. Der oben gegebene alternative Beweis ist (im Wesentlichen) im Buch Differential- und Integralrechnung II (Fichtenholz, G. M., 10. Auflage, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1990) zu finden - anstelle des Satzes von Fubini-Tonelli wird dort ein elementareres Argument mit gleichmäßiger Konvergenz benutzt, um die Vertauschung der Integrationsreihenfolge zu rechtfertigen. Leider wurde in Differential- und Integralrechnung II kein ursprünglicher Autor für den Beweis angegeben. Die Idee ist aber dieselbe, die von Dirichlet für den Nachweis der Formel

$\displaystyle B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

benutzt wurde (dieser Beweis ist ebenfalls in Differential- und Integralrechnung II zu finden). Dieser bekannte Zusammenhang zwischen der Eulerschen Beta- und Gamma-Funktion enthält das gesuchte Integral (nach einer Substitution) als Spezialfall für $x=y=\frac{1}{2}$. Insofern darf man vermutlich Dirichlet als Entdecker des obigen Beweises benennen.

Es sei übrigens noch angemerkt, dass der Beweis, dass die Stammfunktion von $e^{-x^2}$ keine elementare Funktion ist, auf Liouville zurückgeht.

Martin Väth <ed.grubzreuw-inu.kitamehtam|hteav#ed.grubzreuw-inu.kitamehtam|hteav>

Stammfunktion von x^x

Existiert eine Stammfunktion von $f(x)=x^x$?

Ja, z.B. die Funktion

$\displaystyle F(x) = \int\limits_{1}^{x} t^t dt$

ist eine solche Stammfunktion - wobei das Integral das aus der Schule bekannte Riemann-Integral ist. Zu jeder in [a, b] stetigen Funktion f existiert eine Stammfunktion, z.B. die Funktion

$\displaystyle F(x) = \int\limits_{a}^{x} f(t) dt ,\ a\le x\le b$

- was nicht heißt, dass man immer eine davon als ,,geschlossenen Ausdruck" mit Hilfe der üblichen elementaren Funktionen hinschreiben kann. Für $x^x$ gibt es so einen Ausdruck nicht. Der Beweis dafür steht irgendwo in einem schlauen Buch.

Horst Kraemer <ed.bew|remearkhh#ed.bew|remearkhh>

Eine englische Einführung (mit Beweis) findet man unter http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/97/nonelem_integr2.

Unbestimmte Integrale, Stammfunktionen

Wie lautet das unbestimmte Integral (bzw. eine Stammfunktion) der Funktion …?

Mathematische Nachschlagewerke enthalten im Allgemeinen umfangreiche Integraltafeln, die diese Frage für viele Funktionen beantworten. Auch zahlreiche Computeralgebrasysteme wie Maple, Mathematica, Mupad u.a. können unbestimmte Integrale berechnen. Im WWW gibt es unter http://integrals.wolfram.com/ die Möglichkeit, unbestimmte Integrale mit Mathematica zu ermitteln.

Tjark Weber <ed.xmg|rebew.krajt#ed.xmg|rebew.krajt>


Ist 0^0 definiert?

Es gibt genau zwei mögliche Definitionen für 00, die den ,,algebraischen" Potenzrechenregeln
$\displaystyle (a \cdot b)^x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^x \cdot b^x$
$\displaystyle a^{(x+y)}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^x \cdot a^y$
$\displaystyle (a^x)^y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{(xy)}$
nicht widersprechen, also mit ihnen vereinbar sind, und zwar 0 und 1.

Wenn man von 00 mehr verlangt, z.B. dass es eine stetige Fortsetzung der Funktion xy ($x\ge0,\ y\ge0,\ (x,y)\ne(0,0)$) sein soll, gibt es nachweislich keine mögliche Definition, denn

$\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim} x^0 = 1$

und

$\displaystyle \underset{y\to 0^+}{\lim} 0^y = 0.$

Es gibt daher keine ,,allgemeingültige" Definition von 00. Wenn man 00 einsetzt, muss man dazusagen, wie man es in diesem Falle definiert.

Horst Kraemer <ed.ufans|remeark.tsroh#ed.ufans|remeark.tsroh>


Wenn man 00 kombinatorisch definiert, also nm = Anzahl der Abbildungen einer m-elementigen in eine n-elementige Menge, dann ist das Ergebnis 1.

Michael Klemm <ed.enilno-t|mmelK_M#ed.enilno-t|mmelK_M>


Wer der Meinung ist, dass 00 undefiniert sein soll, gebe bitte eine Antwort auf die folgenden beiden Fragen:

  1. Wie lautet der binomische Lehrsatz?
  2. Wie lautet die Taylorreihenentwicklung im Höherdimensionalen?

Helmut Zeisel <ta.iav|lesiez.tumleh#ta.iav|lesiez.tumleh>


Fazit:

  1. Es gibt gute Gründe, 00=1 festzulegen, aber keinen, 00 auf einen anderen Wert festzulegen.
  2. Die Festlegung nach 1) ist nicht allgemein als selbstverständlich akzeptiert, so dass es gut ist, sie am Anfang explizit zu machen (,,Wenn in diesem Buch 00 vorkommt, ist 1 gemeint").
  3. Trotz 2) rechnen alle immer mit 00=1, insbesondere bei Potenzreihen.

Helmut Richter <ed.nehcneum-zrl|rethciR.tumleH#ed.nehcneum-zrl|rethciR.tumleH>


Weitere Erklärungen findet man in der sci.math-FAQ unter http://db.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node40.html (englisch) oder in der deutschen Übersetzung unter http://www.informatik.uni-oldenburg.de/~tjark/sm/.


Ist i^i definiert?

Hier geht es um die Potenz

zw

zweier komplexer Zahlen.

In Anlehnung an die im Reellen geltenden Rechenregeln versucht man zunächst zu definieren

$\displaystyle z^w := \exp ( w \cdot \log (z) ).$

Leider hat nun $\log$ als potentielle Umkehrfunktion von $\exp$ (,,e hoch") die dumme Eigenschaft, dass sie eigentlich nicht existiert, da die Funktion $\exp$ im Komplexen - im Gegensatz zum Reellen - periodisch mit Periode $i2\pi$ ist. Der ,,Logarithmus" einer komplexen Zahl ist also beim ersten Hinschauen eine Schar von Werten, die sich um ganzzahlige Vielfache von $i2\pi$ unterscheiden, denn

$\displaystyle \exp (z + i2k\pi) = \exp(z) \cdot \exp(i2k\pi) = \exp(z) \cdot 1 = \exp(z).$

Man kann nun willkürlich aus der Schar von Logarithmen einen heraussuchen, um die ganze Schar ,,Log" darzustellen:

$\displaystyle \mathrm{Log}(i) = \{ i(\pi/2) + i2k\pi \mid k = \ldots, -1, 0, 1, \ldots \}.$

Damit ist dann ii die Werteschar

$\displaystyle i^i = \exp (i \cdot \mathrm{Log}(i))$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \exp ( i \cdot \{ i(\pi/2)+i2k\pi \mid k = \ldots, -1, 0, 1, \ldots \} )$ �802� $\displaystyle =$ $\displaystyle \{ \exp (-\pi/2 + 2k\pi) \mid k = \ldots, -1, 0, 1, \ldots \}.$

In jedem Falle muss man sich im Komplexen davon verabschieden, dass es dort eine eindeutige ,,Potenzfunktion" gibt. Taschenrechner geben für $z^w$ in der Regel den sogenannten ,,Hauptwert" der Potenz aus, d.h. sie liefern

$\displaystyle \exp (w \cdot \log_0(z) ),$

wobei log0 hier denjenigen eindeutig bestimmten Logarithmus von z meint, dessen Imaginärteil im Intervall $]-\pi,\pi]$ liegt. Bei $i^i$ also z.b. $\exp(-\pi/2)$ als Repräsentant der Werteschar $i^i = \{ \exp (-\pi/2 + 2k\pi) \mid k = \ldots, -1, 0, 1, \ldots \}.$

Horst Kraemer <ed.enilno-t|remeark.tsroh#ed.enilno-t|remeark.tsroh>

Weitere Erklärungen findet man unter http://members.aol.com/tylern7/math/euler-7.html und http://mathforum.org/library/drmath/sets/high_complex.html.

Rechnen mit Unendlich

Ist 1 durch Unendlich gleich 0?

Betrachte die reellen Zahlen. Man spricht von einem angeordneten Körper. Die Abbildung ,,Multiplikation" bzw. ,,Division" ist definiert auf $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$. Unendlich gibt es da nicht (es ist kein Element von $\mathbb{R}$).

Thomas Haunhorst <ed.xmg|50sce#ed.xmg|50sce>


$\infty$ ist keine Zahl und damit auch kein Bestandteil der Arithmetik, mit der man Rechenoperationen durchführen kann. Man verwendet $\infty$ hier ,,symbolisch" immer im Zusammenhang mit Grenzwertargumenten, und man kann selbstverständlich den Ausdruck $\tfrac{1}{\infty}$ interpretieren als

(1) $\underset{n\to\infty}{\lim}\tfrac{1}{a(n)}$, wobei a(n) eine beliebige Folge ist mit $\underset{n\to\infty}{\lim}a(n)=\infty$.

Letzteres ist nur eine bequeme (denn Mathematiker sind bequem und lieben es Notationen zu missbrauchen) Schreibweise für die Aussage, dass

(2) Für jedes A>0 gibt es ein n0 > 0, so dass a(n) > A für alle n > n0.

Dann gilt nämlich tatsächlich für jede Folge, die (1) erfüllt, dass $\underset{n\to\infty}{\lim}\tfrac{1}{a(n)} = 0$, d.h.

für jedes $\varepsilon > 0$ gibt es ein n0 > 0, so dass $-\varepsilon < \tfrac{1}{a(n)} < \varepsilon$ für alle $n \geq n_0$.

Wenn du also willst und genau definierst, wie du $\infty$ zu interpretieren hast, dann gilt tatsächlich, dass $\tfrac{1}{\infty} = 0$. Allerdings ist dies nur eine sehr hemdsärmlige Verkürzung der Aussagen (1) und (2). Man kommt sehr schnell in schweres Fahrwasser, wenn man versucht Arithmetik mit $\infty$ zu treiben. Z.B. gilt dann $x + \infty= \infty$ für jedes x im Widerspruch dazu, dass dies bei ,,normalen" Zahlen nur für x = 0 gelten kann. Die um das Element $\infty$ erweiterte Zahlenmenge verhält sich dann sehr exotisch.

Thomas Nordhaus <ed.enilno-t|hdront#ed.enilno-t|hdront>


Es gibt durchaus Definitionen einer Arithmetik mit $\pm\infty$.

$-\infty < x < \infty$ für alle x aus $\mathbb{R}$

$x + \infty := \infty$ für alle x aus $\mathbb{R}$
$x + -\infty := -\infty$ für alle x aus $\mathbb{R}$
$\infty + \infty := \infty$
$-\infty + -\infty := -\infty$

$x \cdot \infty := \infty$ für alle x>0
$x \cdot -\infty := -\infty$ für alle x>0
$x \cdot \infty := -\infty$ für alle x<0
$x \cdot -\infty := \infty$ für alle x<0

$0 \cdot \infty := 0 \cdot -\infty := 0$

$1/\infty := 1/-\infty := 0$
$1/0 := \infty$

$0/0 := \pm\infty/\pm\infty := \pm\infty/\mp\infty := 0$

Die einzige ,,verbotene" Operation ist $\infty-\infty$. Man beachte, dass hier $1/\pm\infty = 0$ und $1/0 = \infty$ nicht bedeutet, dass $\infty$ das multiplikative Inverse von 0 ist, sondern / als ,,Operation" eingeführt wird, die bei reellen x die übliche Bedeutung hat. Diese Festlegungen sind in der Maß-/Wahrscheinlichkeitstheorie durchaus sinnvoll, wenngleich sie bei $1/0$ naturgemäß nicht mit einer Limesinterpretation kongruent sind und $\mathbb{R}$ vereinigt mit $\{+\infty,-\infty\}$ kein Körper ist (was in dem betrachteten Zusammenhang auch nicht erforderlich ist).

Horst Kraemer <ed.xmg|remeark.tsroh#ed.xmg|remeark.tsroh>

Wie berechnet man pi?

Da die Frage immer wieder auftaucht, habe ich aus meinen Notizzetteln viele Verfahren zur Berechnung von $\pi$ zusammengestellt:

Nach Leibniz gilt:

$\displaystyle \pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...$

Die Reihe konvergiert nur sehr langsam; evtl. kann man variieren:

  1. sie wird so benutzt, wie sie oben steht,
  2. zuerst werden alle pos., dann die neg. Glieder zusammengefasst,
  3. Addition von rechts nach links,
  4. 2) und 3) kombiniert.

Einfache Umformungen durch Zusammenfassen:
$\displaystyle (5) \quad \quad \pi/4$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (1-1/3) + (1/5-1/7) + (1/9-1/11) + (1/13-1/15) + \ldots$ �811� $\displaystyle =$ $\displaystyle 2/3 + 2/35 + 2/99 + 2/195 + \ldots$ �812� $\displaystyle =$ $\displaystyle 2/(1\cdot3) + 2/(5\cdot7) + 2/(9\cdot11) + 2/(13\cdot15) + \ldots$

$\displaystyle (6) \quad \quad \pi/4$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 - (1/3-1/5) - (1/7-1/9) - (1/11-1/13) - \ldots$ �813� $\displaystyle =$ $\displaystyle 1 - 2/(3\cdot5) - 2/(7\cdot9) - 2/(11\cdot13) - \ldots$

Mittelwert der beiden Formeln (5) und (6):

$\displaystyle (7) \qquad \quad \pi/4 = 1/2 + 4/(1\cdot3\cdot5) + 4/(5\cdot7\cdot9) + \ldots$

Leibniz soll bereits gekannt haben:

$\displaystyle (8) \qquad \quad \pi/(6\cdot\sqrt{3}) = 1/(1\cdot3) - 1/(3\cdot3^2) + 1/(5\cdot3^3) - \ldots$

Von Vieta (1593) stammt:

$\displaystyle (9) \qquad \quad 2/\pi = \sqrt{2}/2 \cdot \sqrt{2+\sqrt{2}}/2 \cdot \ldots$

Auf Wallis (1655) geht zurück:

$\displaystyle (10) \qquad \quad \pi/2 = 2/1 \cdot 2/3 \cdot 4/3 \cdot 4/5 \cdot 6/5 \cdot 6/7 \cdot \ldots$

Evtl. bequemer in der Form:

$\displaystyle 2/\pi = 3/4 \cdot 15/16 \cdot 35/36 \cdot 63/64 \cdot \ldots$

Euler zeigte, dass

$\displaystyle (11) \qquad \quad \pi\cdot\pi/6 = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + \ldots$

sowie

$\displaystyle (12) \qquad \quad \pi^4/90 = 1 + 1/2^4 + 1/3^4 + 1/4^4 + \ldots$

Ähnlich:

$\displaystyle (13) \qquad \quad \pi \cdot \pi/12 = 1 - 1/4 + 1/9 - 1/16 + 1/25 + \ldots$

$\displaystyle (14) \qquad \quad \pi \cdot \pi/8 = 1 + 1/3^2 + 1/5^2 + 1/7^2 + \ldots$

$\pi$ und die Zahlentheorie:

Es mag als auffällig erscheinen, dass die Kreiszahl $\pi$ auch innerhalb der Zahlentheorie eine Bedeutung hat. Hier sind zwei Beispiele:

  1. Nach einem Satz der Zahlentheorie ist $6/\pi^2$ der Bruchteil der ,,quadratfreien`` Zahlen (=Zahlen, die keine Quadratzahl als Teiler haben).
  2. Die Chance, dass zwei zufällig ausgewählte Zahlen teilerfremd sind, beträgt $6/\pi^2$.

Beide Sätze können dazu benutzt werden, Näherungen fuer $\pi$ zu berechnen.

$\pi$ als Nullstelle:

Man kann z.B. mit dem Sehnen- oder Tangentenverfahren $\pi$ als Nullstelle der Funktion y=sin(x) bestimmen.

$\pi$ durch Intervall-Schachtelung nach Archimedes:

Bei einem regelmäßigen Sechseck im Kreis (mit halbem Mittelpunktswinkel $al=30^\circ$) gilt für die halbe Sehne $2 \cdot r \cdot \sin(al)$; entsprechend für die halbe Seite des umbeschriebenen Sechsecks $2 \cdot r \cdot \tan(al)$. Damit gilt für den Kreisumfang $U: 2 \cdot n \cdot r \cdot \sin(al) < U < 2 \cdot n \cdot r \cdot \tan(al)$. Es folgt $n \cdot \sin(al) < \pi < n \cdot \tan(al)$. Fortwährendes Halbieren der Seiten ergibt:

$\displaystyle 2^k \cdot n \cdot \sin(al/2^k) < \pi < 2^k \cdot \tan(al/2^k).$

$\sin(30^\circ) = 0.5$ und $\tan(30^\circ) = 1/3 \cdot \sqrt{3}$ ergeben zusammen mit $\sin(al/2) = \sqrt{(1-\cos(al))/2}$ und $\tan(al/2) = \sin(al)/(1+\cos(al))$ und $\cos(al) = \sqrt{1-sin(al)^2}$ Näherungen für $\pi$.

Wenn man sich die Mühe macht, eine Arithmetik für beliebig viele Stellen zu entwickeln, kann man Hunderte Dezimalstellen von $\pi$ berechnen: Dass arctan(x) die Ableitung $1/(1+x^2)$ hat, lernt wohl jeder kennen. $1/(1+x^2) = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \ldots$ kann man nachrechnen. $\arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + \ldots$ folgt dann durch Integrieren (einige notwendige Begründungen hier übergangen). Diese Reihe kann man mit beliebiger Genauigkeit (und entsprechendem Zeitaufwand) für x=1 auswerten.

Die Rechenzeit ist derart hoch, dass es sinnvoll erscheint, ein Verfahren zu wählen, das schnellere Konvergenz garantiert.

Es ist $\pi = 16 \cdot \arctan(1/5) - 4 \cdot \arctan(1/239)$ nach Machin.

Begründung: $al=\arctan(1/5)$, also $\tan(al)=1/5; be=\arctan(1/239)$, also $\tan(be)=1/239$
$\Rightarrow \tan(2 \cdot al) = 2\cdot\tan(al)/(1-tan(al) \cdot \tan(al) = 2/5/(1-1/25) = 5/12$
$\Rightarrow \tan(4 \cdot al) = 5/6/(1-25/144) = 120/119$
$\Rightarrow \tan(4 \cdot al-be) = (\tan(4 \cdot al)-\tan(be))/(1+\tan(4+al) \cdot \tan(be)) = \ldots = 1$
$\Rightarrow 4 \cdot al - be = \pi/4.$

Wenn man also $\arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + \ldots$ auswertet für $x=1/5$ bzw. $x=1/239$ und entsprechend zusammensetzt, sollte man schneller zum Ziel kommen.

Ganz entsprechend kann man benutzen:

$\displaystyle \pi/4 = 2 \cdot \arctan(1/2) - \arctan(1/7)$

oder

$\displaystyle \pi/4 = \arctan(1/2) + \arctan(1/5) + \arctan(1/8)$

oder ähnlich.

Ein ganz anderes Verfahren: Aus der Sinus-Reihe

$\displaystyle \sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + \ldots$

ergibt sich

$\displaystyle \sin(x)/x = 1 - x^2/3! + x^4/5! - x^6/7! + \ldots$

Für $x=\pi/6$ $ (30^\circ)$ wird sin(x)=0.5; also

$\displaystyle 0.5/(\pi/6) = 3/\pi = 1 - (\pi/6)^2/3! + (\pi/6)^4/5! - (\pi/6)^6/7! + \ldots .$

Setzt man rechts einen Näherungswert für $\pi$ ein, so erhält man links einen verbesserten Wert für $3/\pi$, also auch für $\pi$; das Verfahren lässt sich fortsetzen.

August Lobner <ed.enilno-t|renboL.tsuguA#ed.enilno-t|renboL.tsuguA>

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