Algebra, diskrete Mathematik und Zahlentheorie

Wie verbindet man 3 Häuser mit Strom-, Wasser- und Gaswerk?

Eine typische Aufgabenstellung wäre:

Jedes X ist mit jedem Y kreuzungsfrei zu verbinden:

X    X    X

Y    Y    Y

oder aber:

Jedes X mit jedem X:

   X   X

X         X

     X

Beide Aufgaben sind nicht lösbar, weil sowohl der bipartite K3,3-Graph als auch der vollständige K5-Graph nicht planar sind.

Übrigens gilt auch, dass ein ungerichteter Graph dann und nur dann nicht planar ist, wenn er einen dieser beiden speziellen Graphen als Teilgraph enthält. (Vor Anwendung dieses Kriteriums müssen alle Knoten mit genau zwei Kanten entfernt und die beiden angrenzenden Kanten jeweils miteinander verbunden werden.)

David Kastrup <ed.muhcob-inu-rhur.kitamrofnioruen|kad#ed.muhcob-inu-rhur.kitamrofnioruen|kad>

Was heißt ,,relativ prim" (,,relatively prime")?

Was heißt ,,a is relatively prime to b"?

Es heißt ,,a und b sind teilerfremd", also ggT(a,b) = 1. Die Übersetzung ,,relativ prim" ist ein wüster Anglizismus.

Felix Holderied <ed.deiredloh|xilef#ed.deiredloh|xilef>

Ist das um 1 vermehrte Produkt der ersten n Primzahlen selbst wieder prim?

Nicht unbedingt, siehe Beweis der Existenz unendlich vieler Primzahlen von Euklid. Es ist entweder prim oder durch eine Primzahl größer als die n-te Primzahl teilbar.

Axel Reichert <ed.gpm.frodlesseud-eipm|hcier#ed.gpm.frodlesseud-eipm|hcier>


Nur manchmal!

$2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 + 1 = 30031 = 59 \cdot 509$

Felix Holderied <ed.deiredloh|xilef#ed.deiredloh|xilef>

Ist 0 eine natürliche Zahl?

Hm, das ist noch an der Uni abhängig vom Prof, der gerade die Vorlesung hält ;-)). Das ist auch wirklich nur eine Frage der Definition.

Hendrik van Hees <ed.isg|seehnav.h#ed.isg|seehnav.h>


In deutschsprachigen Lehrbüchern sind beide Definitionen weitverbreitet. Wenn es wirklich wichtig ist, sollte man explizit angeben, ob die Null nun mit dazugehört oder nicht.

Joerg Winkelmann <hc.sabinu.htam|lekniw#hc.sabinu.htam|lekniw>


Es gibt mehrere Versionen des Axiomensystems von PEANO persönlich. In der älteren hat er 1 als Urzelle postuliert. In der letzten Version

Peano.G.: Formulaire de mathématiques 5 Bde. Turin, Bocca 1895-1908
[
In deutscher Übersetzung nachzulesen in
G.Peano, Arbeiten zur Analysis und mathematischen Logik
TEUBNER-Archiv zur Mathematik, Band 13
Leipzig, 1990
ISBN-3-322-00477-5
]

fangen bei ihm persönlich die natürlichen Zahlen mit Null an.

Horst Kraemer <ed.xmg|remeark.tsroh#ed.xmg|remeark.tsroh>


Angesichts dieser Präzision möchte ich dann doch noch für die 1'ser Version genaue Hinweise geben:

R. Dedekind, ,,Was sind und was sollen die Zahlen?" (1887)
G. Peano, ,,Arithmetices principia Novo methodo exposita Turin" (1889)

Axel Schmitz-Tewes <ed.nnob-inu|g95szu#ed.nnob-inu|g95szu>

Warum ist 1+1=2?

Die Antwort hängt davon ab, was ,,1", ,,2"und ,,+" bedeuten. Im Allgemeinen wird man die Aussage ,,1+1=2" im Sinne der natürlichen Zahlen (Peano-Axiome oder konstruktive Methode) oder im Sinne eines Körpers verstehen.

Peano-Axiome

Die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ sind durch ein Anfangselement 0 und eine Nachfolgeoperation S definiert.

Die Addition wird definiert durch n+0=n und n+S(m)=S(n+m).

,,1" bzw. ,,2" sind S(0) bzw. S(S(0)).

Dann gilt:

1+1 = S(0)+S(0) = S(S(0)+0)= S(S(0)) = 2.

Konstruktive Methode

Die natürlichen Zahlen sind die Äquivalenzklassen der endlichen Mengen bezüglich der Gleichmächtigkeit.

Die Addition m+n wird folgendermaßen definiert: Es seien M bzw. N Repräsentanten für m bzw. n (d.h. |M| = m und |N| = n), die disjunkt sind. Dann ist $m+n=\vert M\cup N\vert$.

,,1" bzw. ,,2" sind die Äquivalenzklassen von (z.B.) {*} bzw. {*, @}. Wegen |{*}| = |{@}| = 1 und {*} $\cap$ {@} = $\emptyset$ ist dann

$\displaystyle 1+1 = \vert\{*\} \cup \{@\}\vert = \vert\{*, @\}\vert=2.$

Körper

Für einen Körper sind ,,+" und ,,1" axiomatisch definiert, ,,2" ist dann per Definition das Element ,,1+1".

Jan Fricke <ed.dlawsfierg-inu|ekcirf#ed.dlawsfierg-inu|ekcirf>

Warum ist 0 < 1?

Die Antwort hängt davon ab, in welchem Zusammenhang diese Ungleichung gemeint ist.

… in den natürlichen Zahlen

Die Aussage ,,0<1" kann als Aussage über die natürlichen Zahlen ,,0" und ,,1" gedeutet werden. Wie man dann ,,0<1" beweist, hängt von der Wahl des Axiomensystems ab.

Nimmt man die Peano-Axiome und definiert <" als den transitiven Abschluß von n<S(n) (Jede Zahl ist kleiner als ihr Nachfolger, deren Nachfolger, usw."), dann folgt wegen 1 = S(0) sofort 0<1.

Man kann die natürlichen Zahlen aber auch als Äquivalenzklassen endlicher Mengen bezüglich der Gleichmächtigkeit definieren. Dann ist $n \le m$, falls es Mengen N und M mit $N \subseteq M$, |N|=n und |M| = m gibt. Aus $\{\}\subseteq\{*\}$, $\vert\{\}\vert=0$ und $\vert\{*\}\vert=1$ folgt $0\le 1$, da $0\ne1$ gilt also 0<1.

Unabhängig von der Wahl des Axiomensystems kann man aber auch n<m dadurch definieren, dass es eine natürliche Zahl $k\ne 0$ mit m = n+k gibt. Dann ist ,,0<1" äquivalent zur Existenz einer natürlichen Zahl $k\ne 0$ mit 1 = 0+k. Diese Bedingung wird durch k=1 erfüllt, also ist 0<1.

… in einem Ring

Zum anderen legen die Werte 0 und 1 nahe, dass wir einen Ring mit Einselement gegeben haben. Eine Ordnung auf diesem Ring sollte mit der Ringstruktur verträglich sein. Die Ordnung ,,<" ist mit der Ringstruktur von R verträglich, wenn:

  • Für alle $x,y\in R$ gilt entweder x<y, x=y oder y<x.
  • Aus x<y folgt x+z<y+z.
  • Aus x<y und 0<z folgt $x\cdot z < y\cdot z$.

(Äquivalent dazu ist: Es gibt eine Teilmenge $R_+$ mit:

  • Für alle $x\in R$ gilt entweder x=0, $x\in R_+$ oder $-x\in R_+$.
  • Aus $x,y\in R_+$ folgt $x+y\in R_+$.
  • Aus $x,y\in R_+$ folgt $x\cdot y\in R_+$.

Dann ist x<y, falls $y-x\in R_+$.)

Aus den Ringaxiomen folgt $0\cdot x=x\cdot0=0$, $(-1)\cdot x=x\cdot(-1)=-x$, $(-1)\cdot(-1)=1$ und damit $x\cdot x=(-x)\cdot(-x)$. Da für $x\ne0$ entweder x oder -x in $R_+$ liegt, folgt $x\cdot x\in R_+$ (,,Jede Quadratzahl ist nicht-negativ."). Aus $0\ne1$ und $1\cdot1=1$ folgt dann 0<1.

Bemerkung: Es gibt nicht zu jedem Ring eine verträgliche Ordnung - z.B. dann nicht, wenn der Ring Elemente endlicher Ordnung hat oder wenn -1 Summe von Quadratzahlen ist.

Jan Fricke <ed.dlawsfierg-inu|ekcirf#ed.dlawsfierg-inu|ekcirf>

Fermats letzter Satz

Nicht, dass ich davon etwas verstehen würde, aber ich würde mir gerne mal die Veröffentlichung von Wiles' Beweis zu Fermats letztem Satz angucken. Gibt es die irgendwo als PDF oder ähnliches im Internet?


Auf der Webseite von Lek-Heng Lim stehen mittlerweile gescannte Kopien der beiden Paper

Andrew Wiles: Modular elliptic curves and Fermat's last theorem.

Richard Taylor, Andrew Wiles: Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras.

als PDF-Dateien: http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/index.html.

Hermann Kremer <ed.enilno|remerk.nnamreh#ed.enilno|remerk.nnamreh>


Ich würd' auch ,,Fermats Letzter Satz" von Singh empfehlen. Da gibt's Euler, Pythagoras, weibliche Mathematikerinnen (Hypatia z.B.), Fermat natürlich, ein bisschen über Amateurmathematiker, und so weiter, und es führt alles mehr oder weniger zu Fermats letztem Satz und zur Geschichte, wie Andrew Wiles ihn vor wenigen Jahren bewiesen hat.

Oliver Clouds <ed.sairda|revilo#ed.sairda|revilo>


Das Buch von Singh ist wenig empfehlenswert. Dieses Buch gehört in meinen Augen zu den Produkten, die von eingesammelten Anekdoten abgesehen ein ziemlich falsches Bild von der Mathematik abliefern. Fast alle Äußerungen zu Modulformen sind kaum verständlich, z.T. blödsinnig oder falsch. So etwas kann man wesentlich besser machen. Nützlich wäre z.B. ein rudimentäres Verständnis für Mathematik beim Autor. ;-)

Axel Schmitz-Tewes <ten.ecnegelet-ni|tsa#ten.ecnegelet-ni|tsa>


Weitere Erklärungen findet man in der sci.math-FAQ unter http://db.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node22.html (englisch) oder in der deutschen Übersetzung unter http://www.informatik.uni-oldenburg.de/~tjark/sm/.

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